Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen
Definition einer quadratischen Gleichung 
Bei einer quadratischen Gleichung kommt x in der 2. Potenz vor, 
aber in keiner höheren Potenz. 
2 
ax  + bx + c = 0 
Lineares  Absolutes 
Quadratisches 
Glied  Glied 
Glied 


· x ist die Unbekannte (die gesuchte Variable) 
· a,b,c sind Konstanten (Formvariablen) 
· a  R*     (d.h. a  0) 
· b,c   R  (d.h. b und c dürfen Null sein)

Unterteilung der quadratischen Gleichungen 

Name  Schreibweise  Beispiel  Erkennungszeichen dieser Form 
2  2 
Gemischtquadratische  Die Gleichung hat ein quadratisches Glied, 
ax  +bx+c=0  5x  +4x+7=0 
Gleichung  ein lineares Glied und ein Absolutglied 
in Allgemeinform 
2  2 
Gemischtquadratische  Unterschied gegenüber der allgemeinen Form: 
x  +bx+c=0  x  +4x+7=0 
Gleichung  Der Koeffizient a des quadratischen Gliedes ist 1. 
in Normalform  Man erhält die Normalform aus der allg.Form, 
indem man die allgemeine Form durch a teilt 
(d.h durch den Koeffizienten des quadrat.Gliedes) 
2  2 
Gemischtquadratische  Das absolute Glied fehlt 
ax  +bx=0  5x  +9x=0 
Gleichung 
ohne Absolutglied 
2  2 
Reinquadratische  Das lineare Glied fehlt 
ax  + c = 0  3x  + 9 = 0 
Gleichung 


Besondere Erscheinungsformen einer Quadrat. Gleichung 
Name  Schreibweise  Beispiel  Erkennungszeichen dieser Form 
Faktorisierte Form  (x–a)∙(x–b)=0  (x–5)∙(x+7) = 0  Gleichung liegt in Produktform 
2  2 
Faktorisierte Form  Spezialfall des vorigen Falles: 
(x–a)  = 0  (x–3)  = 0 
Spezialfall: Binom  Die Faktoren (Klammern) sind gleich. 
Produkt das gleich  (x–a)∙(x–b)=c  (x–5)∙(x+7) = 10 
einer Konstanten ist 
2  2 
Binom das gleich  Spezialfall des vorigen Falles: 
(x–a)  = c  (x–5)  = 10 
einer Konstanten ist  In der Gleichung kommt das 1. oder 2.Binom 
vor,das gleich einer Konstante c ist. 
 Die Allgemeine Lösungsformel 

Die Gleichung: 
ax 2  + bx + c = 0 
Hat die Lösungen: 

–b ± b 2  - 4 
ac 
x , 2 = 
1
2a 
2 
ac 
Je nach Diskriminante D= b  - 4  gilt: 
Ist D>0  Die Gleichung hat zwei reelle Lösungen. 
b 
Die Gleichung hat eine reelle Lösung  x1  = x2  = – 2 a 
Ist D=0 
Ist D<0  Die Gleichung hat keine relle Lösung. 

Die p­q­Formel

Die Gleichung: 
x 2  + px + q = 0 
Hat die Lösungen: 
2 
–p p 
x1, 2 =  ± - q 
2 2 
2 
p 
- q  gilt: 
Je nach Diskriminante  D=  2 

Ist D>0  Die Gleichung hat zwei reelle Lösungen. 
p 
Die Gleichung hat eine reelle Lösun  x  = x2  = – 2 
Ist D=0  g  1
Ist D<0  Die Gleichung hat keine relle Lösung. 
 Der Satz von Vieta
Gegeben sei eine quadratische Gleichung: 
2 
x  +px+q=0 
Die Gleichung sei in    lösbar, und ihre 
Lösungen x  und x  seien bekannt. 
1 2 
Dann erhält man die Koeffizienten p und q 
n Formeln: 
der Gleichung durch die beide 
x +x  = – p 
1 2 
x ∙x2  = q
1



Teilbarkeit durch Linearfaktor 
Gegeben sei die quadratische Gleichung: 
2 
ax  + bx + c = 0          a,b,c  a 0 
Die Gleichung sei lösbar in  , und die 
 . Dann gilt: 
Lösungen nennen wir: x  ,x  1 2 
2 
ax  + bx + c = a  x – x  x – x2 
1
 Übersicht Lösungsmethoden
Name der Form  Formel  Lösungsmethode  Beispiel 

l Allg.Lösungsformel anwenden. 
2 
Gemischt­  siehe unter allg. Lösungsformel 
ax  +bx+c=0 
quadratische 
Gleichung  Alternativ möglich: 
l Durch a teilen und dann die 
in Allgemeinform 
p­q­Formel anwenden. 

Umständlich aber möglich: 
l Quadratische Ergänzung 
l p­q­Formel anwenden 
2 
Gemischt­  siehe unter p­q­Formel 
x  +bx+c=0 
quadratische 
Gleichung  umständlich aber möglich: 
l Quadratische Ergänzung 
in Normalform 
l Gleichung durch a teilen 
2  2 
Gemischt­  ax  +bx=0  4x  –8x=0 
l x ausklammern 
quadratische  2 
x  –2x=0 
l Die 1. Lösung ist Null. 
Gleichung  x(x–2)=0 
l Die 2. Lösung erhält man 
ohne Absolutglied  L={0,2} 
durch Nullsetzen der Klammer 
l c auf die linke Seite bringen, 
2 
Reinquadratische  2 
ax  + c = 0  3x  –12 = 0 
l Gleichung durch a teilen 
Form  2 
3x  =12 
l Wurzel ziehen  2 
x  =4 
l Betragsgleichung lösen 
x 2   = 4 
x = 2 
L  = +  2,–2
l Die beiden Lösungen 
Faktorisierte Form  (x–a)∙(x–b)=0  (x–5)∙(x+7)=0 
heißen a und b  (x–5)∙(x–(–7))=0 
L={5 , –7} 
l Die Lösung heißt a 
2  2 
Faktorisierte Form  (x–a)  = 0  (x–9)  = 0 
Spezialfall: Binom  L={9} 
l Durch d teilen, falls d@1 
Produkt das gleich  (x–a)∙(x–b)=c  2∙(x+2)∙(x+3)=10 
l Klammern Ausmultiplizieren 
einer Konstanten ist  Gleichung durch 2 teilen: 
oder :  (x+2)∙(x+3)=5 
und gleiche Glieder 
Klammern ausmultiplizieren: 
zusammenfassen 
2 
d(x–a)∙(x–b)=c  l Alle Summanden auf eine  x  +3x+2x+6=5 
Seite bringen  Gleiche Glieder zusammenfassen: 
l Dann erneut die passende  2 
x  +5x+6=5 
Lösungsmethode wählen  Alle Summanden auf eine Seite: 
2 
x  +5x+1=0 
Die Gl. mit p­q­Formel lösen 
l Wurzel ziehen 
2  2 
Binom das gleich  (x–a)  = c  (x–3)  = 16 
einer Konstanten ist  Wurzel ziehen: 
|x–3|=4 
Betragsgleichung lösen: 
x–3=4 oder x–3=–4 
L={–1,7} 
l In der Regel zuerst alle 
Weitere Fälle:  zum Beispiel:  ... 
(x–a)∙(x–b)=  Klammern ausmultiplizieren, 
2  dann alle Glieder auf eine 
cx  –dx–e 
Seite bringen, dann die 
entsprechnenden Glieder addieren